Movimento Harmônico Simples - M.H.S.

Definição

Inicialmente vamos definir aqui o que vem a ser, de fato, um MHS, movimento harmônico simples:

• É o movimento executado sobre uma reta, consistindo numa oscilação periódica nas proximidades de um ponto fixo, denominado ponto de equilíbrio; existe uma freqüência para a ocorrência, ou seja, a cada intervalo de tempo decorre um certo número de oscilações;
• Suas características mecânicas (velocidade, força, energia potencial etc.) repetem-se periodicamente, ou seja, em intervalos de tempo bem definidos;
• Existe uma força que sempre tende a levar a partícula ao ponto fixo. Esta força, denominada força de restauração, é proporcional à distância ao ponto fixo, tendendo sempre a levar a partícula à posição inicial de equilíbrio.

Um exemplo bem comum para o estudo do MHS é o conjunto massa-mola, representado na figura seguinte:

Fig.01: sistema massa-mola

Neste caso o ponto fixo é o ponto 0 no qual a mola se encontraria em seu estado normal ( sem compressão ou distensão). Verificamos que o módulo da distância máxima atingida pela massa a partir do ponto fixo é A, que denominamos amplitude do movimento harmônico simples.

Sempre existirá num MHS uma força que denominamos força restauradora, cujo objetivo é trazer a partícula de volta ao ponto de equilíbrio. Em nosso sistema massa-mola esta força é advinda da distensão ou compressão da mola que armazena energia potencial elástica.
Segundo a Lei de Robert Hooke, podemos escrever , que nos informa que a força de restauração será diretamente proporcional ao deslocamento (elongação) da massa em relação ao ponto de equilíbrio (ponto 0), ou seja, quanto mais esticarmos ou comprimirmos a mola, maior será a força de restauração. No caso da nossa ilustração temos o deslocamento , ou seja a elongação é igual à amplitude do movimento.
Admitamos uma mola cuja constante elástica seja 0,8 N/m e visualizemos na tabela seguinte a força elástica resultante de diferentes distâncias: F=-Kx.

Tab.01: variação da força em função do deslocamento da mola

Na expressão desta força, k é denominada constante elástica e expressa as peculiaridades de cada mola.
Se considerarmos a força em módulo tornaremos a força igual para distâncias idênticas tanto à esquerda quanto à direita do ponto de equilíbrio.

Classicamente estudamos o MHS gerado pela sombra projetada num anteparo de uma partícula que executa um MCU (movimento circular uniforme). Esta é uma maneira bem prática e ilustrativa de estudo. Analise atentamente a situação ilustrada a seguir:

Fig.02: Esquema ilustrativo do estudo do MHS a partir de uma projeção sobre um anteparo de um MCU

- neste MCU o raio da circunferência descrita pelo movimento é A; O raio do MCU coincide com a amplitude do MHS executado pela sombra.

- a cada volta completa do objeto num plano horizontal (em MCU) partindo do ponto P, a sombra do mesmo executa uma oscilação completa ao redor do ponto 0 ,indo de –A passando por 0 chegando a +A e voltando a passar por 0 e retornando a –A. O intervalo de tempo que decorre para uma oscilação completa denominamos período (T). Ao número de oscilações na unidade de tempo denominamos freqüência (f). Importante relacionar: T=1/f.

Vamos analisar os fatores elongação (distanciamento), velocidade e aceleração para o MHS a partir das relações trigonométricas que envolvem a ilustração do fenômeno.
Para uma simplificação deste estudo vamos fazer uso de uma circunferência abstrata, na vertical, sobre a qual uma partícula executa um MCU. Projetaremos, a cada instante, a “ sombra P’ ” da partícula P sobre o diâmetro horizontal de nossa circunferência.

Elongação

Denominamos elongação à abscissa x que mede a distância entre o ponto fixo e a posição da partícula que executa o MHS. Em nosso estudo a partícula que executa o MHS é P’.
Vamos agora estudar o MHS partindo de uma ilustração que considera um ponto P descrevendo um MCU com velocidade angular numa circunferência de raio “a”, posta num plano vertical.
O movimento da projeção P’ de P sobre o diâmetro da circunferência, que denominamos eixo de referência, trata-se de um MHS.

Logo, temos: Eq. 01

Fig.03: Esquema ilustrativo para o estudo da elongação no MHS	Fig.04: Representação gráfica senoidal da elongação em função do tempo

: velocidade angular de P
: espaço angular
: espaço angular inicial

Como determinar a fase inicial

Precisamos fazer uma associação entre o movimento (MHS) e um MCU “correspondente”. Imaginemos a partícula P’ executando um MHS sobre o eixo de referência:

Fig.05: Partícula executando um MHS de amplitude a sobre uma reta

Agora, vamos sobrepor ao eixo de referência uma circunferência cujo raio é igual à amplitude do MHS (a); daí, projetamos P’ sobra a circunferência obtendo P, que nada mais é que o inverso do que fizemos na fig.03
A fase inicial nada mais é que o ângulo determinado na circunferência conforme ilustrado a seguir.

	Concluímos que a cada posição x sobre o eixo de referência corresponde um ângulo determinado na circunferência imaginária para o nosso MHS. Daí, para a posição inicial, na qual se inicia o movimento, existe também um correspondente ângulo. É bem comum que consideremos a fase inicial como sendo nula, uma vez que para x=a ( elongação máxima, amplitude ) o ângulo é de “0º”.
Fig.06: Determinação esquemática da fase inicial de um MHS.

Velocidade

Determinamos a velocidade para P’ ( que executa o MHS ) também de forma trigonométrica, bastando observar o triângulo superior na figura 07.

Em breve muito mais conteúdo!